Добірка задач практичного змісту

Подібні фігури

1. Тінь, що відкидається стовпом на поверхню землі, дорівнює 9 м, у той самий час стрижень висо­тою 2 м відкидає тінь 2,4 м. Знайти висоту стовпа.

(7,5 м)

2. Стовп висотою 15 м закривається монетою діаметром 2 см, якщо тримати її на відстані 70 см від ока. Знайти відстань від стовпа до спостерігача.

(525 м)

1. Як знайти висоту предмета, до основи якого можна підійти?

2. Як знайти висоту предмета, до основи якого не можна підійти?

Теореми синусів і косинусів

1. Два пароплави починають свій рух одночас­но з одного порту та рухаються рівномірно по пря­мих, що перетинаються під кутом . Швидкість першого пароплава — а км/год, іншого - Ь км/год. Обчислити, на якій відстані будуть знаходитися пароплави через х годин.

( )

2. О 7 год ранку пасажирський літак вилетів з міста А. Після півгодинної зупинки в місті В о 8 год 10 хв літак зробив поворот на 35° вправо та о 9 год здійснив посадку в місті С. Знайти відстань між містами А та С, якщо середня швидкість літака на кожній ділянці польоту дорівнювала 320 км/год.

( = 458 км)

1. Залізний стрижень довжиною а потрібно зігну­ти під прямим кутом так, шоб відстань між кінця­ми дорівнювала Ь. Де має знаходитися точка згину? За яких умов задача має розв'язок? Розглянути цю задачу за умови, що кут згину дорівнює 60° , 120°.

2. 3 двох пунктів А та В виїжджають одночасно два потяги відповідно у напрямах AD і ВЕ, що пе­ретинаються в точці С під кутом 60° . Обидва по­тяги рухаються рівномірно зі швидкістю відпові­дно 20 і 30 км/год. Через скільки годин з моменту їхнього відправлення відстань DЕ між ними дорі­внюватиме початковій, якщо АС = 50км, ВР = 40км?

(З год)

5. На озері є невеликий острів А. Знайти від­стань від острова А до пункту В, що знаходиться на березі. (Острів А прийняти за точку.)

6. Зі спостережного пункту помічають під ку­том 63,5° літак, що пролітає над вежею, висота якої 79,5 м. Пряма, що сполучає спостережний пункт із верхівкою вежі, утворює з горизонталь­ною площиною кут 20°45'. На якій висоті знахо­диться літак?

(420,5 м)

7.3 вертольота, що знаходиться над шосейною дорогою, було помічено ко­лону машин, яка рухається по ній. По­чаток колони видно під кутом 75° , а кінець — під кутом 70°. Знайти довжи­ну колони, якщо вертоліт знаходиться на висоті 1650 м.

(= 1042 м)

8. Вершину гори з точки .4 видно під кутом 3 8° 42', а при наближенні до гори на 200 м вершину стало видно під кутом 42°. Знайти висоту гори.

(=14 325 м)

9. Дорога вгору піднімається двома уступами у вигляді ламаної лінії. Пер­ший уступ утворює з горизонтом кут 30°, другий - 65° , а пряма, що сполу­чає вершину гори з її основою, нахиле­на до горизонту під кутом 60° .Довжи­на першого уступу дорівнює 1 км. Знай­ти висоту гори. ( = 5,7 км)

10. Судно йде на схід зі швидкіс­тю 12 вузлів. О 13 год 10 хв азимут напрямку на маяк дорівнював 70° , ао 13 год 40 хв — 20°. На якій відстанівід судна знаходиться маяк о 13 год?

11. У стіні шахти на однаковій ви­соті пробито два штреки, входи у які віддалені один від одного на 4 м. Перший штрек має дов­жину 350 м і спрямований перпендикулярно достіни. Довжина другого штреку дорівнює 420 м, і він спрямований під кутом 125° до стіни шахти. Кінці цих штреків сполучено третім штреком. Яка довжина третього штреку? У якому напрямку тре­ба розмістити штрек від кінців даних штреків, якщо роботу треба починати з обох кінців однчасно?

(245м, 88°47',56° 13')

12. Спостерігач знаходиться на відстані 50 м від вежі, висоту якої він хоче виміряти. Основу вежі він бачить під кутом 10° до горизонту, а вер­шину — під кутом 45° до горизонту. Яка висота вежі?

(59 м)

13. На горі стоїть вежа висотою 100 м. Біля підніжжя гори знаходиться одна людина. Інша спостерігає її спочатку з вершини вежі під кутом 60° до горизонту, а потім з її основи під кутом 30°. Знайти висоту гори.

(50 м)

Ламана. Многокутник. Правильні многокутники

1. Села Ата В знаходяться на однаковій відстані від міста М. На прямій, що проходить через М і В, розміщені ще два села С та Д. До яких із сіл (А чи В) ближче розміщено село С; село Д?

2. Чотири будинки розміщені у вершинах зе­мельної ділянки, що має форму опуклого чоти­рикутника. Де на цій ділянці потрібно викопати колодязь, щоб сума всіх відстаней від кожного будинку до колодязя була найменшою?

(У точці перетину діагоналей чотирикутника)

3. Кути квадратного залізного листа зі сторо­ною а зрізали так, що отримали правильний вось­микутник. Знайти його сторону.

(=0,41 а)

4. На колі потрібно розмістити центри отворів для 15 болтів так, щоб відстань між центрами от­ворів була ЗО мм. Якої довжини має бути радіус кола?

(72 мм)

5. Як скласти паркет із правильних восьмикут­ників і квадратів; із дванадцятикутників і трикут­ників?

6. Чи можна скласти паркет із правильних де­сятикутників і п'ятикутників?

(Ні)

7. З яких правильних многокутників одного виду можна скласти паркет?

(Трикутників, квадратів, шестикутників)

Вписані та описані многокутники

1. Де на відкритій ділянці трикутної форми потрібно помістити ліхтар, щоб усі три кути її були освітлені однаково?

(У центрі кола, описаного навколо трикутника)

2.3 колоди діаметром 120 мм необхідно випи­ляти брус товщиною 40 мм. Знайти найбільшу ширину бруса.(113 мм)

3. Скляреві доручили вирізати скло для вікна круглої форми. Що і як має скляр виміряти, ко­ристуючись лише рулеткою, щоб вирізати по­трібне скло?

(Треба взяти три точки на краях вікна

та виміряти відстані між ними. Побудований

за трьома сторонами трикутник однозначно

задає описане коло)

4.3 колоди потрібно випиляти 7 дощок одна­кової ширини товщиною 40мм кожна. Знайти найбільшу ширину кожної дошки, якщо діаметр колоди 350 мм.

(210 мм)

5.3 кількох колод однакового діаметра випилю­ють балки різного поперечного перерізу. Для якого перерізу балки відходів буде найменша кількість?

(Якщо балка матиме квадратний переріз)

Довжина кола

1. Ведуче колесо паровоза робить 6 об/с, діа­метр колеса 120 см. Знайти швидкість паровоза.

( = 81 км/год)

2. Піднімаючи воду з колодязя, вал робить 18 оборотів. Обчислити глибину колодязя, якщо діа­метр вала 20 см.

(-11,3м)

3. Довжина хвилинної стрілки на Спаській вежі Московського Кремля 3м 27 см. Який шлях пробігає її кінець за 1 хв? за 1 годину?

(33,56 см; 2053,56 см)

5.3 жерсті зробили одну трубу діаметром 18 см і три однакові труби тієї самої довжини. Обчис­лити радіус менших труб.

(Зсм)

б. Як обчислити радіус планети, якщо широти пунктів А та В, у яких зроблено вимірювання, до­рівнюють відповідно і , а довжина дуги мери­діана між ними дорівнює 8?

7. Діаметри коліс трактора дорівнюють 75 і 90 см. Який шлях пройде трактор, якщо на цьому шляху переднє колесо зробить на 230 обертів більше, ніж заднє?

( = 3,3 км)

8. Довжина орбіти автоматичної космічної станції «Салют» дорівнює 41 500 км. Вважаючи орбіту круговою, знайти висоту станції над Зем­лею, якщо радіус Землі 6370 км.

( = 238 км)

9. Тунель циліндричної форми, що має діаметр 135 см і глибину 380 м, треба викласти цеглою. Скільки цеглин для цього буде потрібно, якщо розмір цегли 25 см х 12 см х 6,5 см?

(826 цеглин)

10. Припустимо, що земну кулю та футболь­ний м'яч обтягнуто по екватору обручами. Якщо в обох випадках збільшити довжину обручів на 1 м і розмістити знову обручі на однаковій відстані від поверхні об'єктів, то утворяться зазори. У яко­му випадку зазор більший?

(Однаковий завжди)

11. За два обороти по круговій орбіті навколо Землі космічний корабель пролетів 84152 км. На якій висоті над поверхнею Землі знаходиться ко­рабель, якщо радіус Землі дорівнює 6370 км?

(330 км)

12. Знайти довжину маятника стінного годин­ника, якщо кут його коливання становить 38°, а довжина дуги, що описує кінець маятника, дорів­нює 24 см.

~ (36,2 см)

13. Тепловоз пройшов 1413 м. Знайти діаметр колеса, якщо воно зробило 300 обертів.

(1,5 м)

14. Радіус заокруглення шляху залізничного полотна дорівнює 5 км, а довжина дуги заокруг­лення — 400 м. Яка градусна міра дуги заокруг­лення?

(4°35')

Кутова міра дуги кола

1. Скільки спиць у колесі, якщо кожний з кутів, розміщених між двома сусідніми спицями, дорів­нює 18° ?

(20)

2. Зубчасте колесо з 60 зубцями зчеплене з іншим, що має 75 зубців. На який кут повернеть­ся друге колесо при одному повному оберті пер­шого?

(288°)

3. Діаметри двох зчеплених зубчастих коліс відносяться як 3 : 8. На який кут повернеться більше колесо при одному повороті меншого?

(135°)

4. На який кут повернеться Земля навколо своєї осі за 8 год? На який кут за цей час повер­неться годинна стрілка?

(120°;240°)

5. Як змінюється кут між годинною і хвилин­ною стрілками впродовж 1хв; 12 хв; 46 хв?

(5°30'; 66°; 253°)

Площі многокутників

1. Основа постаменту пам'ятника має форму квадрата зі стороною 6 м. Навколо пам'ятника розміщена клумба шириною 2 м. Знайти площу клумби.

(64 м2)

2. Освітлення кімнати вважається нормальним, якщо площа прорізів вікон не менша за 0,2 площі підлоги. Визначити, чи нормально освітлена ваша класна кімната.

3. Необхідно оштукатурити стіну довжиною 8,25 м і висотою 4,32 м, що має три вікна розмі­ром 2,2 м х 1,2 м кожне. Знайти площу поверхні стіни, яку необхідно оштукатурити.

(27,72 м2)

4. Сад має форму прямокутника зі сторонами 580 м і 376 м. Скільки в ньому яблунь, якщо на кожну яблуню припадає в середньому 16 м2 ?Який виторг дав сад після продажу яблук, якщо з 1 га зібрано по 35 т яблук і кожна тонна продана в середньому по 2,5 грн ?

(13 630 яблунь, 1907,5 грн)

5. Підлогу кімнати, що має прямокутну фор­му розміром 11 м х 8,8 м, потрібно вистелити паркетом, одна плитка якого має розмір 5 см х 25 см. Скільки потрібно плиток паркету, якщо на припасування і прирізку витрачається 3 % від загальної площі?

(7977 плиток)

6. Кожну із двох рівновеликих ділянок по­трібно обнести огорожею. Одна ділянка має фор­му квадрата зі стороною 80 м, а інша — форму пря­мокутника, одна сторона якого дорівнює 50 м. На яку огорожу буде потрібно більше матеріалу і на скільки, якщо на кожні 12 м потрібно 1 м3 пило­матеріалів?

(Прямокутної форми; на 3 м3)

7. Трактор, рухаючись зі швидкістю 15 км/год, тягне за собою дискову сівалку з робочою шири­ною захвату 6 м. Скільки гектарів можна засіяти

у такий спосіб за 8-годинний робочий день?

(72 га)

8.До будинку необхідно зробити добудову з трьох стін, використовуючи одну зі стін будинку. Виявилося, що цегли вистачить на 100 м стіни (по периметру трьох нових стін). Добудова має бути максимальною за площею. Які розміри до­будови вибрати?

(25 м х 50 м)

9. Прямокутна квіткова клумба займає площу 216 м2. Уздовж довгих сторін необхідно проклас­ти доріжки шириною 2 м, уздовж коротких — шириною 3 м. Які мають бути розміри прямокут­ної ділянки (клумби разом з доріжкою), щоб пло­ща доріжок була найменшою?

(24 м х 16 м)

10. Один новосел вирішив вистелити різно­барвними квадратними плитками підлогу в кухні площею 7,29 м2 і купив такий набір: 1 плитка зі стороною 120 см, 3 плитки зі стороною 90 см, 9 плиток із стороною 60 см і 2 плитки зі сторо­ною 30 см. Інший новосел для такої самої підло­ги купив 2 плитки зі стороною 120 см, 2 плитки зі стороною 90 см, 8 плиток зі стороною 60 см і 2 плитки зі стороною 30 см. Хто з них вигадав?

(Перший)

11. Ділянку, що має форму прямокутника, по­трібно розділити двома межами, що виходять з одного кута, на три рівновеликі частини. Як це зробити?

(Сполучити вершину кута з точками на

протилежних сторонах,

які ділять сторони у відношенні 1: 2)

12. Ділянку, що має форму прямокутника, по­трібно розділити трьома межами на чотири рівно­великі частини. Як це зробити?

. (Сполучити вершину прямокутника з проти­лежною й вершиною і серединами сторін)

13. Поверхня озера має форму квадрата. У вер­шинах квадрата на березі озера ростуть чотири дуби. Треба удвічі збільшити площу поверхні озера так, шоб нове озеро зберегло форму квадрата і щоб усі чотири дуби залишилися на своїх місцях. Як це зробити?

14. Потрібно вистелити підлогу кімнати роз­міром 6 м х 4 м плитками правильної шестикут­ної форми. Скільки таких плиток необхідно мати, якщо сторона плитки 20 см?

(= 243 плитки)

15. Підлогу прямокутного фойє театру, розмі­ри якого 4,6 м х 8,4м, потрібно покрити керам­ічною плиткою двох різних кольорів (порівну кожного кольору). Скільки потрібно плиток кожного кольору, якщо плитка має форму правиль­ного шестикутника зі стороною 10 см?

(2359 плиток кожного кольору)

16. На плані, виконаному в масштабі 1:200,місце для установки деякого об'єкта займає 360 см2. Яку площу воно займає насправді? (1440 смг)

Площа круга та його частин

1. Дерево має 1,884 м в обхвати Чому дорівнює площа поперечного спилу, що має приблизно форму кола?

(=0,28 м2)

2. Вода тече по двох трубах із однаковою швид­кістю. Перша труба має діаметр 20 см, а друга —15 см. У скільки разів подача води з другої труби менша ніж з першої?

(наближено в 1,8 раза)

3. Круглу клумбу, радіус якої 6 м, розділили на дві рівні частини колом, центр якого збігається з центром клумби. Чому дорівнює радіус цього кола? '

(З72м)

4. Дві труби, внутрішні діаметри яких дорів­нюють 15 мм і 25 мм, потрібно замінити однією, не змінюючи їхньої пропускної здатності. Яким має бути внутрішній діаметр нової труби?

(«29 мм)

5. Два прожектори розміщені один напроти іншого на прямолінійних паралельних протилеж­них берегах ріки. Відстань між прожекторами до­рівнює 12 км. Прожектори можуть освітлювати місцевість радіусом 10 км кожний. Чому дорів­нює площа поверхні ріки, освітлюваної цими про­жекторами? (=229 км2)

6. На будинку встановлено годинник із круго­вим циферблатом, що має діаметр 8,8 м. Знайти площу циферблата цього годинника та порівняти її з площею класної кімнати.

(60,8 м2)